Что такое момент инерции?

Моменты инерции

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Аналогично тому, как масса определяет, насколько тело сопротивляется изменению прямолинейного поступательного движения, момент инерции определяет, насколько тело сопротивляется изменению вращательного движения. Момент инерции обычно обозначается буквой I или J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Напомним, что инертность – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. В прямолинейном движении это свойство количественно выражается через массу: чем больше масса тела, тем труднее изменить его скорость, то есть разогнать или затормозить. Например, легче толкнуть футбольный мяч, чем толкнуть и привести в движение автомобиль — у машины гораздо больше масса, а значит, выше инертность.

Когда речь идёт о вращательном движении, понятие инертности сохраняется, но проявляется по-другому: тело сопротивляется изменению угловой скорости, то есть ускоренному вращению или торможению. И вот здесь вместо массы появляется аналогичная величина — момент инерции. Если масса показывает, насколько тело "упрямо" при попытке изменить его прямолинейное движение, то момент инерции показывает, насколько тело "упрямо" в своём вращении — то есть насколько оно сопротивляется ускорению или торможению вращения.

Когда тело вращается, каждая его точка движется по окружности с определённым радиусом относительно оси вращения. Вклад каждой точки массы тела в общее «сопротивление вращению» зависит не только от массы этой точки, но и от того, насколько она удалена от оси вращения. Чем дальше точка от оси, тем больше её вклад. Это объясняется тем, что на больших расстояниях при том же угловом ускорении требуется большее усилие (момент силы), чтобы ускорить вращение.

Общая формула моментов инерции

Для расчета момента инерции механической системы (системы, состоящей из множества точек) можно воспользоваться следующей формулой:

где:

• — момент инерции

• - масса i-oй точки

• - расстояние от i-ой точки до оси

Общая формула вычисления момента инерции представляет собой интеграл произведения квадрата расстояния до оси вращения на бесконечно малые части массой dm:

Но если мы говорим об одной материальной точке, то выражения представляется в следующей форме:

Если представить dm в предыдущем выражении как , то получим следующее:

где:

• - масса элемента объема тела

• - плотность

• - расстояние от элемента до оси a

Если тело однородно: